\documentclass[handout]{thisslide}




\renewcommand{\mytitle}{第八章\quad 向量代数与空间解析几何}
\renewcommand{\mysubtitle}{第二节\quad 数量积 \textbullet 向量积 \textbullet ${}^*$混合积}
\graphicspath{ {./images/} }
\tikzset{>=latex}
\begin{document}


\section{两向量的数量积}

\begin{frame}{向量的数量积}
\onslide<2->
  设一物体在恒力 $\symbf{F}$ 作用下沿直线从点 $M_{1}$ 移动到点 $M_{2}$, 以 $\symbf{s}$ 表示位移 $\overrightarrow{M_{1} M_{2}}$. 
\onslide<3->
  由物理学知道，力 $\symbf{F}$ 所做的功为
$$
W=|\symbf{F}||\symbf{s}| \cos \theta,
$$
其中 $\theta$ 为 $\symbf{F}$ 与 $\symbf{s}$ 的夹角 (图 8-18).

\onslide<4->
从这个问题看出， 我们有时要对两个向量 $\symbf{a}$ 和 $\symbf{b}$ 作这样的运算， 运算的结果是一个数， 它等于 $|\symbf{a}|,|\symbf{b}|$ 及它们的夹角 $\theta$ 的余弦的乘积。 
\onslide<5->
我们把它叫做向量 $\symbf{a}$ 与 $\symbf{b}$ 的\emph{数量积}， 记作 $\symbf{a} \cdot \symbf{b}$ (图 8-19) , 即
$$
\symbf{a} \cdot \symbf{b}=|\symbf{a}||\symbf{b}| \cos \theta
$$


\begin{columns}
  \onslide<2->
  \begin{column}{0.5\textwidth}
    \begin{figure}[h]
        \centering
      \includegraphics[max width=.6\textwidth]{2023_12_24_97c6713154de10467fc1g-14}
    \caption*{图 8-18}
\end{figure}
\end{column}

\onslide<5->
\begin{column}{0.5\textwidth}
  \begin{figure}[h]
      \centering
    \includegraphics[max width=.6\textwidth]{2023_12_24_97c6713154de10467fc1g-14(1)}
  \caption*{图 8-19}
\end{figure}
\end{column}
\end{columns}

\onslide<6->
根据这个定义， 上述问题中力所做的功 $W$ 是力 $F$ 与位移 $\symbf{s}$ 的数量积， 即
$$
W=\symbf{F} \cdot \symbf{s} .
$$

\end{frame}

\begin{frame}
由于 $|\symbf{b}| \cos \theta=|\symbf{b}| \cos (\widehat{\symbf{a}, \symbf{b}})$, 
\pause
当 $\symbf{a} \neq \symbf{0}$ 时是向量 $\symbf{b}$ 在向量 $\symbf{a}$ 的方向上的投影，
\pause
用 $\operatorname{Prj}_{\symbf{a}} \symbf{b}$ 来表示这个投影，便有
$$
\symbf{a} \cdot \symbf{b}=|\symbf{a}| \operatorname{Prj}_{\symbf{a}} \symbf{b},
$$
\pause
同理，当 $\symbf{b} \neq \symbf{0}$ 时有
$$
\symbf{a} \cdot \symbf{b}=|\symbf{b}| \operatorname{Prj}_{b} \symbf{a} .
$$
\pause
这就是说，两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积。

\pause
由数量积的定义可以推得
\begin{enumerate}
  \item  $\symbf{a} \cdot \symbf{a}=|\symbf{a}|^{2}$.

\pause
这是因为夹角 $\theta=0$, 所以
$$
\symbf{a} \cdot \symbf{a}=|\symbf{a}|^{2} \cos 0=|\symbf{a}|^{2}
$$

\pause
\item 对于两个非零向量 $\symbf{a}, \symbf{b}$, 如果 $\symbf{a} \cdot \symbf{b}=0$, 那么 $\symbf{a} \perp \symbf{b}$; 
\pause
反之， 如果 $\symbf{a} \perp \symbf{b}$, 那么 $\symbf{a} \cdot \symbf{b}=0$.

\pause
这是因为如果 $\symbf{a} \cdot \symbf{b}=0$, 由于 $|\symbf{a}| \neq 0,|\symbf{b}| \neq 0$, 
\pause
所以 $\cos \theta=0$, 从而 $\theta=\frac{\pi}{2}$, 
\pause
即 $\symbf{a} \perp \symbf{b}$; 
\pause
反之， 如果 $\symbf{a} \perp \symbf{b}$, 那么 $\theta=\frac{\pi}{2}, \cos \theta=0$, 
\pause
于是 $\symbf{a} \cdot \symbf{b}=|\symbf{a}||\symbf{b}| \cos \theta=0$.

\pause
由于可以认为零向量与任何向量都垂直， 因此，上述结论可叙述为： 
\pause
向量 $\symbf{a} \perp \symbf{b}$ 的充分必要条件是 $\symbf{a} \cdot \symbf{b}=0$.
\end{enumerate}
\end{frame}

\begin{frame}{}
  \begin{block}{数量积的运算规律}
\pause
  \begin{enumerate}
      \item 交换律： $\symbf{a} \cdot \symbf{b}=\symbf{b} \cdot \symbf{a}$.
\pause
        \item 分配律： $(\symbf{a}+\symbf{b}) \cdot \symbf{c}=\symbf{a} \cdot \symbf{c}+\symbf{b} \cdot \symbf{c}$.
\pause
          \item 结合律：
          $(\lambda \symbf{a}) \cdot \symbf{b}=\lambda(\symbf{a} \cdot \symbf{b}),$ 其中 $\lambda$ 为数。 
      \end{enumerate}
  \end{block}

 \pause
由上述结合律， 利用交换律， 容易推得
$$
\symbf{a} \cdot(\lambda \symbf{b})=\lambda(\symbf{a} \cdot \symbf{b})\quad \text { 及 } \quad
(\lambda \symbf{a}) \cdot(\mu \symbf{b})=\lambda \mu(\symbf{a} \cdot \symbf{b}) .
$$
\pause
这是因为
$$
\begin{aligned}
  \symbf{a} \cdot(\lambda \symbf{b})&= (\lambda \symbf{b}) \cdot \symbf{a}=\lambda(\symbf{b} \cdot \symbf{a})=\lambda(\symbf{a} \cdot \symbf{b}), \\
\pause
(\lambda \symbf{a}) \cdot(\mu \symbf{b})&= \lambda[\symbf{a} \cdot(\mu \symbf{b})]=\lambda[\mu(\symbf{a} \cdot \symbf{b})]=\lambda \mu(\symbf{a} \cdot \symbf{b}) .
\end{aligned}
$$


\end{frame}


\begin{frame}
\begin{proof}[交换律、分配律、结合律的证明]
  \pause
     \begin{enumerate}
             \item  
               根据定义有
             $$
           \symbf{a} \cdot \symbf{b}=|\symbf{a}||\symbf{b}| \cos (\widehat{\symbf{a}, \symbf{b}}), \quad \symbf{b} \cdot \symbf{a}=|\symbf{b}||\symbf{a}| \cos (\widehat{\symbf{b}, \symbf{a}}),
         $$
\pause
       而
     $$
   |\symbf{a}||\symbf{b}|=|\symbf{b}||\symbf{a}| \quad \text { 且 } \quad 
   \cos (\widehat{\symbf{a}, \symbf{b}})=\cos (\widehat{\symbf{b}, \symbf{a}}),
 $$
\pause
 所以
 $$
 \symbf{a} \cdot \symbf{b}=\symbf{b} \cdot \symbf{a}.
 $$

\pause
 \item  当 $\symbf{c}=0$ 时， 显然$(\symbf{a}+\symbf{b}) \cdot \symbf{c}=0=\symbf{a} \cdot \symbf{c}+\symbf{b} \cdot \symbf{c}$; 
\pause
   当 $\symbf{c} \neq 0$ 时， 有
 $$
 (\symbf{a}+\symbf{b}) \cdot \symbf{c}=|\symbf{c}| \operatorname{Prj}_{\symbf{c}}(\symbf{a}+\symbf{b})
 $$
\pause
 由投影性质 2 , 可知
 $$
 \operatorname{Prj}_{\symbf{c}}(\symbf{a}+\symbf{b})=\operatorname{Prj}_{\symbf{c}} \symbf{a}+\operatorname{Prj}_{\symbf{c}} \symbf{b},
 $$
\pause
 所以
 $$
 (\symbf{a}+\symbf{b}) \cdot \symbf{c}=|\symbf{c}|\left(\operatorname{Prj}_{\symbf{c}} \symbf{a}+\operatorname{Prj}_{\symbf{c}} \symbf{b}\right)=|\symbf{c}| \operatorname{Prj}_{\symbf{c}} \symbf{a}+|\symbf{c}| \operatorname{Prj}_{\symbf{c}} \symbf{b}=\symbf{a} \cdot \symbf{c}+\symbf{b} \cdot \symbf{c} .
 $$

\pause
 \item 当 $\symbf{b}=\symbf{0}$ 时，显然$(\lambda \symbf{a}) \cdot \symbf{b}=0=\lambda(\symbf{a} \cdot \symbf{b})$; 
\pause
   当 $\symbf{b} \neq \symbf{0}$ 时，按投影性质 3 , 可得
 $$
 (\lambda \symbf{a}) \cdot \symbf{b}=|\symbf{b}| \operatorname{Prj}_{\symbf{b}}(\lambda \symbf{a})=|\symbf{b}| \lambda \operatorname{Prj}_{\symbf{b}} \symbf{a}=\lambda|\symbf{b}| \operatorname{Prj}_{\symbf{b}} \symbf{a}=\lambda(\symbf{a} \cdot \symbf{b}) .
 $$
   \end{enumerate}
 \end{proof}

\end{frame}

\begin{frame}{}

\begin{example}
试用向量证明三角形的余弦定理。
\end{example}

\onslide<2->
\begin{solution}
  \begin{columns}
\onslide<3->
    \begin{column}{0.7\textwidth}
      设在 $\triangle A B C$ 中， $\angle B C A=\theta$ (图 8-20), $|B C|=a,|C A|=b,|A B|=c$, 
\onslide<4->
      要证
    $$
  c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cos \theta \text {. }
$$
\onslide<5->
记 $\overrightarrow{C B}=\symbf{a}, \overrightarrow{C A}=\symbf{b}, \overrightarrow{A B}=\symbf{c}$, 则有
$$
 \symbf{c}=\symbf{a}-\symbf{b},
$$
\onslide<6->
从而
$$
\begin{aligned}
|\symbf{c}|^{2} & =\symbf{c} \cdot \symbf{c}=(\symbf{a}-\symbf{b}) \cdot(\symbf{a}-\symbf{b})=\symbf{a} \cdot \symbf{a}+\symbf{b} \cdot \symbf{b}-2 \symbf{a} \cdot \symbf{b} \\
& =|\symbf{a}|^{2}+|\symbf{b}|^{2}-2|\symbf{a}||\symbf{b}| \cos (\widehat{\symbf{a}, \symbf{b}}) .
\end{aligned}
$$
\onslide<7->
由 $|\symbf{a}|=a,|\symbf{b}|=b,|\symbf{c}|=c$ 及 $(\widehat{\symbf{a}, \symbf{b}})=\theta$, 
\onslide<8->
即得
$$
c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cos \theta .
$$
\end{column}

\onslide<3->
\begin{column}{0.3\textwidth}
  \begin{figure}[h]
          \centering
        \includegraphics[max width=\textwidth]{2024_01_19_d53316b371e4d6addcc7g-02}
      \caption*{图 8-20}
  \end{figure}
\end{column}
\end{columns}
\end{solution}
\end{frame}

\begin{frame}

下面我们来推导数量积的坐标表示式。

\pause
设 $\symbf{a}=a_{x} \symbf{i}+a_{y} \symbf{j}+a_{z} \symbf{k}, \symbf{b}=b_{x} \symbf{i}+b_{y} \symbf{j}+b_{z} \symbf{k}$. 
\pause
按数量积的运算规律可得
\pause
$$
\begin{aligned}
\symbf{a} \cdot \symbf{b} &= \left(a_{x} \symbf{i}+a_{y} \symbf{j}+a_{z} \symbf{k}\right) \cdot\left(b_{x} \symbf{i}+b_{y} \symbf{j}+b_{z} \symbf{k}\right) \\
\pause
 &= a_{x} \symbf{i} \cdot\left(b_{x} \symbf{i}+b_{y} \symbf{j}+b_{z} \symbf{k}\right)+a_{y} \symbf{j} \cdot\left(b_{x} \symbf{i}+b_{y} \symbf{j}+b_{z} \symbf{k}\right)+a_{z} \symbf{k} \cdot\left(b_{x} \symbf{i}+b_{y} \symbf{j}+b_{z} \symbf{k}\right) \\
 \pause
  &= a_{x} b_{x} \symbf{i} \cdot \symbf{i}+a_{x} b_{y} \symbf{i} \cdot \symbf{j}+a_{x} b_{z} \symbf{i} \cdot \symbf{k}+a_{y} b_{x} \symbf{j} \cdot \symbf{i}+a_{y} b_{y} \symbf{j} \cdot \symbf{j}+a_{y} b_{z} \symbf{j} \cdot \symbf{k}+ \\
  \pause
&\quad a_{z} b_{x} \symbf{k} \cdot \symbf{i}+a_{z} b_{y} \symbf{k} \cdot \symbf{j}+a_{z} b_{z} \symbf{k} \cdot \symbf{k} .
\end{aligned}
$$
\pause
因为 $\symbf{i}, \symbf{j}$ 和 $\symbf{k}$ 互相垂直， 
\pause
所以 $\symbf{i} \cdot \symbf{j}=\symbf{j} \cdot \symbf{k}=\symbf{k} \cdot \symbf{i}=0, \symbf{j} \cdot \symbf{i}=\symbf{k} \cdot \symbf{j}=\symbf{i} \cdot \symbf{k}=0$. 
\pause
又因为 $\symbf{i}, \symbf{j}$ 和 $\symbf{k}$的模均为 $1$, 
\pause
所以 $\symbf{i} \cdot \symbf{i}=\symbf{j} \cdot \symbf{j}=\symbf{k} \cdot \symbf{k}=1$. 
\pause
因而得
$$
\symbf{a} \cdot \symbf{b}=a_{x} b_{x}+a_{y} b_{y}+a_{z} b_{z} .
$$

\pause
这就是两个向量的数量积的坐标表示式。

\pause
因为 $\symbf{a} \cdot \symbf{b}=|\symbf{a}||\symbf{b}| \cos \theta$, 所以当 $\symbf{a}$ 与 $\symbf{b}$ 都不是零向量时， 有
$$
\cos \theta=\frac{\symbf{a} \cdot \symbf{b}}{|\symbf{a}||\symbf{b}|}
$$

\pause
将数量积的坐标表示式及向量的模的坐标表示式代人上式， 就得
$$
\cos \theta=\frac{a_{x} b_{x}+a_{y} b_{y}+a_{z} b_{z}}{\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}} \sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}}}
$$

\pause
这就是两向量夹角余弦的坐标表示式。
\end{frame}
\begin{frame}
  \begin{example}
  已知三点 $M(1,1,1), A(2,2,1)$ 和 $B(2,1,2)$, 求 $\angle A M B$.
\end{example}

\pause
\begin{solution}
作向量 $\overrightarrow{M A}$ 及 $\overrightarrow{M B}$, $\angle A M B$ 就是向量 $\overrightarrow{M A}$ 与 $\overrightarrow{M B}$ 的夹角。 
\pause
这里， $\overrightarrow{M A}=(1,1,0), \overrightarrow{M B}=$ $(1,0,1)$, 
\pause
从而
$$
\begin{gathered}
\overrightarrow{M A} \cdot \overrightarrow{M B}=1 \times 1+1 \times 0+0 \times 1=1, \\
\pause
|\overrightarrow{M A}|=\sqrt{1^{2}+1^{2}+0^{2}}=\sqrt{2}, \quad|\overrightarrow{M B}|=\sqrt{1^{2}+0^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}
\end{gathered}
$$
\pause
代人两向量夹角余弦的表达式，得
$$
\cos \angle A M B=\frac{\overrightarrow{M A} \cdot \overrightarrow{M B}}{|\overrightarrow{M A}||\overrightarrow{M B}|}=\frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}=\frac{1}{2}
$$
\pause
由此得
$$
\angle A M B=\frac{\pi}{3} .
$$
\end{solution}
\end{frame}
\begin{frame}
  \begin{example}
    设液体流过平面 $S$ 上面积为 $A$ 的一个区域，液体在这区域上各点处的流速均为 (常向量) $\symbf{v}$. 设 $\symbf{n}$ 为垂直于 $S$ 的单位向量 (图 8-21(a)), 计算单位时间内经过这区域流向 $\symbf{n}$ 所指一侧的液体的质量 $m$ (液体的密度为 $\rho$ ).
\end{example}

\onslide<2->
\vspace{-.5em}
\begin{figure}[h]
    \centering
\onslide<1->
\begin{subfigure}[b]{.2\textwidth}
    \includegraphics[max width=\textwidth]{2024_01_19_d53316b371e4d6addcc7g-03(2)}
    \caption*{(a)}
  \end{subfigure}
\hspace{5em}
\onslide<2->
\begin{subfigure}[b]{.17\textwidth}
    \includegraphics[max width=\textwidth]{2024_01_19_d53316b371e4d6addcc7g-03}
    \caption*{(b)}
  \end{subfigure}
\onslide<1->
  \caption*{图 8-21}
\end{figure}

\onslide<2->
\vspace{-1em}
\begin{solution}
  单位时间内流过这区域的液体组成一个底面积为 $A$ 、斜高为 $|\symbf{v}|$ 的斜柱体 (图 8-21(b)). 
\onslide<3->
  这柱体的斜高与底面的垂线的夹角就是 $\symbf{v}$ 与 $\symbf{n}$ 的夹角 $\theta$, 
\onslide<4->
  所以这柱体的高为 $|\symbf{v}| \cos \theta$,
\onslide<5->
  体积为
$$
A|\symbf{v}| \cos \theta=A \symbf{v} \cdot \symbf{n} .
$$
\onslide<6->
从而，单位时间内经过这区域流向 $\symbf{n}$ 所指一侧的液体的质量为
$$
m=\rho A \symbf{v} \cdot \symbf{n}.
$$
\end{solution}
\end{frame}


\section{两向量的向量积}

\begin{frame}{力矩}
\onslide<2->
在研究物体转动问题时， 不但要考虑这物体所受的力，还要分析这些力所产生的力矩。下面就举一个简单的例子来说明表达力矩的方法。

\onslide<3->
设 $O$ 为一根杜杆 $L$ 的支点。 有一个力 $\symbf{F}$ 作用于这杜杆上点 $P$ 处。 
\onslide<4->
$\symbf{F}$ 与 $\overrightarrow{O P}$ 的夹角为 $\theta$ (图 8-22). 
\onslide<5->
由力学规定， 力 $F$ 对支点 $O$ 的力矩是一向量 $\symbf{M}$, 它的模
$$
|\symbf{M}|=|O Q||\symbf{F}|=|\overrightarrow{O P}||\symbf{F}| \sin \theta,
$$
\onslide<6->
而 $\symbf{M}$ 垂直于 $\overrightarrow{O P}$ 与 $\symbf{F}$ 所决定的平面， $M$ 的正向是按右手规则从 $\overrightarrow{O P}$ 以不超过 $\pi$ 的角转向 $\symbf{F}$ 来确定的，
\onslide<7->
即当右手的四个手指从 $\overrightarrow{O P}$ 以不超过 $\pi$ 的角转向 $\symbf{F}$ 握拳时， 大拇指的指向就是 $\symbf{M}$ 的方向 (图 8-23).


\begin{columns}
  \onslide<4->
  \begin{column}{0.5\textwidth}
      \begin{figure}[h]
              \centering
            \includegraphics[max width=.5\textwidth]{2024_01_19_d53316b371e4d6addcc7g-03(1)}
          \caption*{图 8-22 }
      \end{figure}
  \end{column}

\onslide<7->
\begin{column}{0.5\textwidth}
  \begin{figure}[h]
        \centering
      \includegraphics[max width=.3\textwidth]{2024_01_19_d53316b371e4d6addcc7g-04(1)}
    \caption*{图 8-23}
\end{figure}
\end{column}
\end{columns}

\onslide<8->
这种由两个已知向量按上面的规则来确定另一个向量的情况， 在其他力学和物理问题中也会遇到。 于是从中抽象出两个向量的向量积概念。
\end{frame}

\begin{frame}{向量积}
  \onslide<2->
设向量 $\symbf{c}$ 由两个向量 $\symbf{a}$ 与 $\symbf{b}$ 按下列方式定出：

\onslide<3->
\begin{columns}
\begin{column}{0.7\textwidth}
$\symbf{c}$ 的模 $|\symbf{c}|=|\symbf{a}||\symbf{b}| \sin \theta$, 其中 $\theta$ 为 $\symbf{a}$ 与 $\symbf{b}$ 的夹角; 
\onslide<4->
$\symbf{c}$ 垂直于 $\symbf{a}$ 与 $\symbf{b}$ 所决定的平面 (即 $\symbf{c}$ 既垂直于 $\symbf{a}$, 又垂直于 $\symbf{b}$ ), 
\onslide<5->
$\symbf{c}$ 的正向按右手规则从 $\symbf{a}$ 转向 $\symbf{b}$ 来确定(图 8-24),
\onslide<6->
向量 $\symbf{c}$ 叫做向量 $\symbf{a}$ 与 $\symbf{b}$ 的\emph{向量积}，
\onslide<7->
记作 $\symbf{a} \times \symbf{b}$, 即
$$
\symbf{c}=\symbf{a} \times \symbf{b} .
$$

\onslide<8->
按此定义，上面的力矩 $\symbf{M}$ 等于 $\overrightarrow{O P}$ 与 $\symbf{F}$ 的向量积， 即
$$
\symbf{M}=\overrightarrow{O P} \times \symbf{F}
$$
\end{column}

\onslide<5->
\begin{column}{0.3\textwidth}
  \begin{figure}[h]
        \centering
        \includegraphics[max width=.6\textwidth]{2024_01_19_d53316b371e4d6addcc7g-04}
\caption*{图 8-24}
\end{figure}
\end{column}
\end{columns}

\end{frame}

\begin{frame}
由向量积的定义可以推得
\pause
\begin{enumerate}
  \item $\symbf{a} \times \symbf{a}=\symbf{0}$.

    \pause
这是因为夹角 $\theta=0$, 所以 $|\symbf{a} \times \symbf{a}|=|\symbf{a}|^{2} \sin 0=0$.

\pause
\item  对于两个非零向量 $\symbf{a}, \symbf{b}$, 如果 $\symbf{a} \times \symbf{b}=\symbf{0}$, 那么 $\symbf{a} / / \symbf{b}$; 
\pause
  反之， 如果 $\symbf{a} / / \symbf{b}$, 那么 $\symbf{a} \times \symbf{b}=\symbf{0}$.

\pause
  这是因为如果 $\symbf{a} \times \symbf{b}=\symbf{0}$, 由于 $|\symbf{a}| \neq 0,|\symbf{b}| \neq 0$, 那么必有 $\sin \theta=0$, 
\pause
  于是 $\theta=0$ 或 $\pi$,即 $\symbf{a} / / \symbf{b}$; 
\pause
  反之， 如果 $\symbf{a} / / \symbf{b}$, 那么 $\theta=0$ 或 $\pi$, 于是 $\sin \theta=0$,
\pause
  从而 $|\symbf{a} \times \symbf{b}|=0$, 
\pause
  即 $\symbf{a} \times \symbf{b}=\symbf{0}$.

\pause
由于可以认为零向量与任何向量都平行， 因此， 上述结论可叙述为： 向量 $\symbf{a} / / \symbf{b}$ 的充分必要条件是 $\symbf{a} \times \symbf{b}=\symbf{0}$.
\end{enumerate}

\pause
\begin{block}{向量积的运算规律}
\pause
\begin{enumerate}
  \item 反交换性： $\symbf{b} \times \symbf{a}=-\symbf{a} \times \symbf{b}$.

\pause
这是因为按右手规则从 $\symbf{b}$ 转向 $\symbf{a}$ 定出的方向恰好与按右手规则从 $\symbf{a}$ 转向 $\symbf{b}$ 定出的方向相反。

\pause
\item 分配律：$(\symbf{a}+\symbf{b}) \times \symbf{c}=\symbf{a} \times \symbf{c}+\symbf{b} \times \symbf{c}$.

\pause
\item 结合律：
$
(\lambda \symbf{a}) \times \symbf{b}=\symbf{a} \times(\lambda \symbf{b})=\lambda(\symbf{a} \times \symbf{b})$, 其中 $\lambda$ 为数。
\end{enumerate}
\end{block}

\end{frame}

  \begin{frame}{向量积的坐标表达式}

  下面来推导向量积的坐标表示式。

\pause
设 $\symbf{a}=a_{x} \symbf{i}+a_{y} \symbf{j}+a_{z} \symbf{k}, \symbf{b}=b_{x} \symbf{i}+b_{y} \symbf{j}+b_{z} \symbf{k}$. 
\pause
那么， 按上述运算规律， 得
\pause
$$
\begin{aligned}
\symbf{a} \times \symbf{b} &= \left(a_{x} \symbf{i}+a_{y} \symbf{j}+a_{z} \symbf{k}\right) \times\left(b_{x} \symbf{i}+b_{y} \symbf{j}+b_{z} \symbf{k}\right) \\
\pause
 &= a_{x} \symbf{i} \times\left(b_{x} \symbf{i}+b_{y} \symbf{j}+b_{z} \symbf{k}\right)+a_{y} \symbf{j} \times\left(b_{x} \symbf{i}+b_{y} \symbf{j}+b_{z} \symbf{k}\right)+a_{z} \symbf{k} \times\left(b_{x} \symbf{i}+b_{y} \symbf{j}+b_{z} \symbf{k}\right) \\
\pause
 &= a_{x} b_{x}(\symbf{i} \times \symbf{i})+a_{x} b_{y}(\symbf{i} \times \symbf{j})+a_{x} b_{z}(\symbf{i} \times \symbf{k})+a_{y} b_{x}(\symbf{j} \times \symbf{i})+a_{y} b_{y}(\symbf{j} \times \symbf{j})+a_{y} b_{z}(\symbf{j} \times \symbf{k})+ \\
\pause
&\quad  a_{z} b_{x}(\symbf{k} \times \symbf{i})+a_{z} b_{y}(\symbf{k} \times \symbf{j})+a_{z} b_{z}(\symbf{k} \times \symbf{k}) .
\end{aligned}
$$
\pause
因为 $\symbf{i} \times \symbf{i}=\symbf{j} \times \symbf{j}=\symbf{k} \times \symbf{k}=0$,
\pause
\begin{wrapfigure}{r}{.2\textwidth}
  \centering
  \begin{tikzpicture}[scale=.5]
    \node (j) at (0,0) {$\symbf{j}$};
    \node (k) at (2,0) {$\symbf{k}$};
    \node (i) at (1, 1.732) {$\symbf{i}$};
    \draw[->] (i) to[bend right] (j);
    \draw[->] (j) to[bend right] (k);
    \draw[->] (k) to[bend right] (i);
  \end{tikzpicture}
\end{wrapfigure}
$\symbf{i} \times \symbf{j}=\symbf{k}, \symbf{j} \times \symbf{k}=\symbf{i}, \symbf{k} \times \symbf{i}=\symbf{j},$ 
\pause
$\symbf{j} \times \symbf{i}=-\symbf{k}, \symbf{k} \times \symbf{j}=-\symbf{i}$ 和 $\symbf{i} \times \symbf{k}=-\symbf{j}$, 
\pause
所以
$$
\symbf{a} \times \symbf{b}=\left(a_{y} b_{z}-a_{z} b_{y}\right) \symbf{i}+\left(a_{z} b_{x}-a_{x} b_{z}\right) \symbf{j}+\left(a_{x} b_{y}-a_{y} b_{x}\right) \symbf{k} .
$$


\pause
为了帮助记忆，利用三阶行列式，上式可写成
$$
\symbf{a} \times \symbf{b}=\left|\begin{array}{ccc}
\symbf{i} & \symbf{j} & \symbf{k} \\
a_{x} & a_{y} & a_{z} \\
b_{x} & b_{y} & b_{z}
\end{array}\right|
$$

\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{example}
  设 $\symbf{a}=(2,1,-1), \symbf{b}=(1,-1,2)$, 计算 $\symbf{a} \times \symbf{b}$.
\end{example}

\pause
\begin{solution}
$$
\symbf{a} \times \symbf{b}=\left|\begin{array}{ccc}
 \symbf{i} & \symbf{j} & \symbf{k} \\
2 & 1 & -1 \\
1 & -1 & 2
\end{array}\right|=\symbf{i}-5 \symbf{j}-3 \symbf{k}
$$
\end{solution}
\end{frame}

\begin{frame}

\begin{example}
已知三角形 $A B C$ 的顶点分别是 $A(1,2,3), B(3,4,5)$ 和 $C(2,4,7)$, 求三角形 $A B C$ 的面积。
\end{example}

\pause
\begin{solution}
根据向量积的定义， 可知三角形 $A B C$ 的面积
$$
S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{A B}||\overrightarrow{A C}| \sin \angle A=\frac{1}{2}|\overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{A C}|
$$
\pause
由于 $\overrightarrow{A B}=(2,2,2), \overrightarrow{A C}=(1,2,4)$, 因此
$$
\overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{A C}=\left|\begin{array}{lll}
\symbf{i} & \symbf{j} & \symbf{k} \\
2 & 2 & 2 \\
1 & 2 & 4
\end{array}\right|
\pause
=4 \symbf{i}-6 \symbf{j}+2 \symbf{k}
$$
\pause
于是
$$
S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2}|4 \symbf{i}-6 \symbf{j}+2 \symbf{k}|=\frac{1}{2} \sqrt{4^{2}+(-6)^{2}+2^{2}}=\sqrt{14} .
$$
\end{solution}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{example}
    设刚体以等角速度 $\symbf{\omega}$ 绕 $l$ 轴旋转，计算刚体上一点 $M$ 的线速度。
  \end{example}

\onslide<2->
\begin{solution}

\begin{columns}
\begin{column}{0.7\textwidth}
\onslide<3->
刚体绕 $l$ 轴旋转时， 我们可以用在 $l$ 轴上的一个向量 $\symbf{\omega}$ 表示角速度， 它的大小等于角速度的大小， 它的方向由右手规则定出： 即以右手握住 $l$ 轴， 当右手的四个手指的转向与刚体的旋转方向一致时， 大拇指的指向就是 $\symbf{\omega}$ 的方向 (图 8-25).

\onslide<4->
设点 $M$ 到旋转轴 $l$ 的距离为 $a$, 再在 $l$ 轴上任取一点 $O$作向量 $\symbf{r}=\overrightarrow{O M}$, 并以 $\theta$ 表示 $\symbf{\omega}$ 与 $\symbf{r}$ 的夹角， 则
$$
a=|\symbf{r}| \sin \theta
$$
\onslide<5->
设点 $M$ 的线速度为 $\symbf{v}$,由物理学上线速度与角速度间的关系可知， $\symbf{v}$ 的大小为
$$
|\symbf{v}|=|\symbf{\omega}| a=|\symbf{\omega}||\symbf{r}| \sin \theta ;
$$
\onslide<6->
$\symbf{v}$ 垂直于通过 $M$ 点与 $l$ 轴的平面， 即 $\symbf{v}$ 既垂直于 $\symbf{\omega}$ 又垂直于 $\symbf{r}$; 又 $\symbf{v}$ 的方向使 $\symbf{\omega}, \symbf{r}, \symbf{v}$ 符合右手规则。 
\onslide<7->
因此有
$$
\symbf{v}=\symbf{\omega} \times \symbf{r} .
$$
\end{column}

\onslide<3->
\begin{column}{0.3\textwidth}
  \begin{figure}[h]
        \centering
\includegraphics[max width=.8\textwidth]{2024_01_19_d53316b371e4d6addcc7g-06}
\caption*{图 8-25}
\end{figure}
\end{column}
\end{columns}
\end{solution}
\end{frame}



\section{向量的混合积}

\begin{frame}{混合积}

设已知三个向量 $\symbf{a}, \symbf{b}$ 和 $\symbf{c}$. 先作两向量 $\symbf{a}$ 和 $\symbf{b}$ 的向量积 $\symbf{a} \times \symbf{b}$, 把所得到的向量与第三个向量 $\symbf{c}$ 再作数量积 $(\symbf{a} \times \symbf{b}) \cdot \symbf{c}$, 这样得到的数叫做三向量 $\symbf{a}, \symbf{b}, \symbf{c}$ 的\emph{混合积}， 记作 $[\symbf{a}\; \symbf{b}\; \symbf{c}]$.

下面我们来推出三向量的混合积的坐标表示式。

设 $\symbf{a}=\left(a_{x}, a_{y}, a_{z}\right), \symbf{b}=\left(b_{x}, b_{y}, b_{z}\right), \symbf{c}=\left(c_{x}, c_{y}, c_{z}\right)$, 因为
$$
\symbf{a} \times \symbf{b}=\left|\begin{array}{ccc}
\symbf{i} & \symbf{j} & \symbf{k} \\
a_{x} & a_{y} & a_{z} \\
b_{x} & b_{y} & b_{z}
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}
a_{y} & a_{z} \\
b_{y} & b_{z}
\end{array}\right| \symbf{i}-\left|\begin{array}{cc}
a_{x} & a_{z} \\
b_{x} & b_{z}
\end{array}\right| \symbf{j}+\left|\begin{array}{cc}
a_{x} & a_{y} \\
b_{x} & b_{y}
\end{array}\right| \symbf{k},
$$
再按两向量的数量积的坐标表示式， 便得
$$
\begin{aligned}
  {\left[\begin{array}{lll}
      \symbf{a} & \symbf{b} & \symbf{c}
\end{array}\right] } & =(\symbf{a} \times \symbf{b}) \cdot \symbf{c} \\
& =c_{x}\left|\begin{array}{cc}
a_{y} & a_{z} \\
b_{y} & b_{z}
\end{array}\right|-c_{y}\left|\begin{array}{cc}
a_{x} & a_{z} \\
b_{x} & b_{z}
\end{array}\right|+c_{z}\left|\begin{array}{cc}
a_{x} & a_{y} \\
b_{x} & b_{y}
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}
a_{x} & a_{y} & a_{z} \\
b_{x} & b_{y} & b_{z} \\
c_{x} & c_{y} & c_{z}
\end{array}\right| .
\end{aligned}
$$


\end{frame}


\begin{frame}
向量的混合积有下述几何意义：

向量的混合积 $[\symbf{a} \symbf{b} \symbf{c}]=(\symbf{a} \times \symbf{b}) \cdot \symbf{c}$ 是这样一个数， 它的绝对值表示以向量 $\symbf{a}, \symbf{b}, \symbf{c}$为棱的平行六面体的体积。 如果向量 $\symbf{a}, \symbf{b}, \symbf{c}$ 组成右手系 (即 $\symbf{c}$ 的方向按右手规则从 $\symbf{a}$
转向 $\symbf{b}$ 来确定), 那么混合积的符号是正的; 如果 $\symbf{a}, \symbf{b}, \symbf{c}$ 组成左手系 (即 $\symbf{c}$ 的方向按左手规则从 $\symbf{a}$ 转向 $\symbf{b}$ 来确定), 那么混合积的符号是负的。

~



事实上， 设 $\overrightarrow{O A}=\symbf{a}, \overrightarrow{O B}=\symbf{b}, \overrightarrow{O C}=\symbf{c}$. 按向量积的定义， 向量积 $\symbf{a} \times \symbf{b}=\symbf{f}$ 是一个向量， 它的模在数值上等于以向量 $\symbf{a}$和 $\symbf{b}$ 为邻边所作平行四边形 $O A D B$ 的面积， 它的方向垂直于这平行四边形的平面， 且当 $\symbf{a}, \symbf{b}, \symbf{c}$ 组成右手系时， 向量 $\symbf{f}$与向量 $\symbf{c}$ 朝着这平面的同侧 (图 8-26); 当 $\symbf{a}, \symbf{b}, \symbf{c}$ 组成左手系时， 向量 $\symbf{f}$ 与向量 $\symbf{c}$ 朝着这平面的异侧。 所以， 如设 $\symbf{f}$与 $\symbf{c}$ 的夹角为 $\alpha$, 那么当 $\symbf{a}, \symbf{b}, \symbf{c}$ 组成右手系时， $\alpha$ 为锐角; 当 $\symbf{a}, \symbf{b}, \symbf{c}$ 组成左手系时， $\alpha$ 为钝角。 由于
$$
\left[\begin{array}{lll}
    \symbf{a} & \symbf{b} & \symbf{c}
\end{array}\right]=(\symbf{a} \times \symbf{b}) \cdot \symbf{c}=|\symbf{a} \times \symbf{b}||\symbf{c}| \cos \alpha
$$

所以当 $\symbf{a}, \symbf{b}, \symbf{c}$ 组成右手系时， $[\symbf{a}\; \symbf{b}\; \symbf{c}]$ 为正; 当 $\symbf{a}, \symbf{b}, \symbf{c}$ 组成左手系时， $[\symbf{a}\; \symbf{b}\; \symbf{c}]$ 为负。


  \begin{figure}[h]
        \centering
        \includegraphics[max width=.27\textwidth]{2024_01_19_d53316b371e4d6addcc7g-07(1)}
\caption*{图 8-26 }
\end{figure}

\end{frame}


\begin{frame}

因为以向量 $\symbf{a}, \symbf{b}, \symbf{c}$ 为棱的平行六面体的底 (平行四边形 $O A D B$ ) 的面积 $S$ 在数值上等于 $|\symbf{a} \times \symbf{b}|$, 它的高 $h$ 等于向量 $\symbf{c}$ 在向量 $\symbf{f}$ 上的投影的绝对值， 即
$$
h=\left|\operatorname{Prj}_{f} \symbf{c}\right|=|\symbf{c}||\cos \alpha|,
$$
所以平行六面体的体积
$$
V=S h=|\symbf{a} \times \symbf{b}||\symbf{c}||\cos \alpha|=|[\symbf{a} \symbf{b} \symbf{c}]| .
$$

~

由上述混合积的几何意义可知， 若混合积 $[\symbf{a}\; \symbf{b}\; \symbf{c}] \neq 0$, 则能以 $\symbf{a}, \symbf{b}, \symbf{c}$ 三向量为棱构成平行六面体， 从而 $\symbf{a}, \symbf{b}, \symbf{c}$ 三向量不共面; 反之， 若 $\symbf{a}, \symbf{b}, \symbf{c}$ 三向量不共面， 则必能以 $\symbf{a}, \symbf{b}, \symbf{c}$ 为棱构成平行六面体， 从而 $[\symbf{a} \; \symbf{b}\; \symbf{c}] \neq 0$. 于是有下述结论：

三向量 $\symbf{a}, \symbf{b}, \symbf{c}$ 共面的充分必要条件是它们的混合积 $[\symbf{a} \; \symbf{b}\; \symbf{c}]=0$, 即
$$
\left|\begin{array}{lll}
a_{x} & a_{y} & a_{z} \\
b_{x} & b_{y} & b_{z} \\
c_{x} & c_{y} & c_{z}
\end{array}\right|=0
$$
\end{frame}
\begin{frame}
  \begin{example}
   已知不在一平面上的四点 $A\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right), C\left(x_{3}, y_{3}, z_{3}\right), D\left(x_{4}, y_{4}\right.$, $\left.z_{4}\right)$. 求四面体 $A B C D$ 的体积。
  \end{example}

 \begin{solution}
  由立体几何知道， 四面体的体积 $V$ 等于以向量 $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}$ 和 $\overrightarrow{A D}$ 为棱的平行六面体的体积的六分之一。 因而
 $$
  V=\frac{1}{6}\left|\left[\begin{array}{lll}
       \overrightarrow{A B} & \overrightarrow{A C} & \overrightarrow{A D}
      \end{array}\right]\right|
     $$
    由于
   $$
  \begin{aligned}
     \overrightarrow{A B}&= \left(x_{2}-x_{1}, y_{2}-y_{1}, z_{2}-z_{1}\right), \\
      \overrightarrow{A C}&= \left(x_{3}-x_{1}, y_{3}-y_{1}, z_{3}-z_{1}\right)
       \overrightarrow{A D}&= \left(x_{4}-x_{1}, y_{4}-y_{1}, z_{4}-z_{1}\right),
      \end{aligned}
     $$
    所以
   $$
  V= \pm \frac{1}{6}\left|\begin{array}{lll}
   x_{2}-x_{1} & y_{2}-y_{1} & z_{2}-z_{1} \\
  x_{3}-x_{1} & y_{3}-y_{1} & z_{3}-z_{1} \\
 x_{4}-x_{1} & y_{4}-y_{1} & z_{4}-z_{1}
  \end{array}\right|
 $$
  上式中符号的选择必须和行列式的符号一致。
 \end{solution}
 \end{frame}

 \begin{frame}
  \begin{example}
   已知 $A(1,2,0), B(2,3,1), C(4,2,2), M(x, y, z)$ 四点共面， 求点 $M$ 的坐标 $x, y, z$ 所满足的关系式。
  \end{example}

 \begin{solution}
   $A, B, C, M$ 四点共面相当于 $\overrightarrow{A M}, \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}$ 三向量共面， 这里 $\overrightarrow{A M}=(x-1, y-2, z)$, $\overrightarrow{A B}=(1,1,1), \overrightarrow{A C}=(3,0,2)$. 按三向量共面的充分必要条件， 可得
 $$
 \left|\begin{array}{ccc}
 x-1 & y-2 & z \\
 1 & 1 & 1 \\
 3 & 0 & 2
 \end{array}\right|=0
 $$
 即
 $$
 2 x+y-3 z-4=0 .
 $$
 这就是点 $M$ 的坐标所满足的关系式。
 \end{solution}
 \end{frame}
 \end{document}
